Question

16．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x，x≥0\\ sin（{πx}），x＜0\end{array}\right.$，若f（x）-mx≥-1恒成立，则实数m的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 6
• D． 4

Answer 1

分析 利用不等式恒成立转化为两个函数的图象关系，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：若f（x）-mx≥-1恒成立，
则若f（x）+1≥mx恒成立，
即当x≥0时，f（x）+1≥mx等价为x²+2x+1≥mx，即（x+1）²≥mx，
当x＜0时，f（x）+1≥mx等价为sin（πx）+1≥mx，
设g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+1）^{2}，}&{x≥0}\\{sin（πx）+1，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
作出函数g（x）的图象如图：
当m＜0时，不满足条件．
当m=0时，满足条件．
当m＞0时，当直线y=mx与y=（x+1）²在x＞0相切时，
满足x²+2x+1=mx，
即x²+（2-m）x+1=0，
则判别式△=（2-m）²-4=0，
得m-2=2或m-2=-2，得m=4或m=0（舍），
∴要使f（x）-mx≥-1恒成立，则0≤m≤4，
则实数m的最大值为4，
故选：D

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数与不等式的关系进行转化，利用数形结合是解决本题的关键．