Question

8．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$．
（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；
（2）已知P为曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数）上一点，求P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）由ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$展开化为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）=3$\sqrt{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）P到直线l的距离d=$\frac{|4cosθ-3sinθ+6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$，再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$展开化为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）=3$\sqrt{2}$，化为直角坐标方程：y-x=6，即x-y+6=0．
（2）P到直线l的距离d=$\frac{|4cosθ-3sinθ+6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{11}{\sqrt{2}}$=$\frac{11\sqrt{2}}{2}$，当sin（θ+φ）=-1时，取等号．
∴P到直线l的距离的最大值为$\frac{11\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、三角函数的和差公式、点到直线的距离公式、椭圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．