Question

4．在直角坐标xOy系中，直线l经过点P（-1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+1=0．
（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出曲线C的直角坐标方程为x²+y²-6x+1=0，将直线l的参数方程代入x²-y²-6x-1=0，得t²-8tcosα+8=0，再利用根的判别式能求出α的取值范围．
（2）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），由此利用三角函数性质能求出x+y的取值范围．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+1=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-6x+1=0，
∵直线l经过点P（-1，0），其倾斜角为α，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，（t为参数），
将$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，代入x²-y²-6x-1=0，
整理，得t²-8tcosα+8=0，
∵直线l与曲线C有公共点，
∴△=64cos²α-32≥0，即cosα≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或cosα≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵α∈[0，π），∴α的取值范围是[0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{3π}{4}$，π）．
（2）曲线C的直角坐标方程x²+y²-6x+1=0可化为（x-3）²+y²=8，
其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），
∵M（x，y）为曲线C上任意一点，
∴x+y=3+2$\sqrt{2}$cosθ+2$\sqrt{2}sinθ$=3+4sin（$θ+\frac{π}{4}$），
∴x+y的取值范围是[-1，7]．

点评 本题考查角的取值范围的求法，考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．