Question

11．已知函数f（x）=|x-2|
（1）求证：f（m）+f（n）≥|m-n|
（2）若不等式f（2x）+f（-x）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（m）+f（n）=|m-2|+|n-2|≥|（m-2）-（n-2）|=|m-n|，由此能证明f（m）+f（n）≥|m-n|．
（2）设g（x）=f（2x）+f（-x），则g（x）=2|x-1|+|x-2|，由此能求出实数a的取值范围．

解答 证明：（1）∵函数f（x）=|x-2|
∴f（m）+f（n）=|m-2|+|n-2|
≥|（m-2）-（n-2）|=|m-n|，
∴f（m）+f（n）≥|m-n|．
解：（2）设g（x）=f（2x）+f（-x），
则g（x）=2|x-1|+|-x-2|，
当x≤-2时，g（x）=-3x，此时g（x）的最小值为6，
当-2＜x≤1时，g（x）=-x+4，此时g（x）的最小值为3，
当x＞1时，g（x）=3x，此时，g（x）＞3，
故实数a的取值范围是a≤3．

点评 本题考查不等式的证明，考查不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式的性质的合理运用．