Question

6．已知抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a，4）到焦点的距离等于5．
（1）求抛物线的方程和a值；
（2）过抛物线内点P（1，4）引一弦，使弦被P平分，求该弦所在的直线方程及弦长．

Answer 1

分析 （1）通过设抛物线方程为x²=2py，利用抛物线定义可知p=2，进而可得抛物线方程，通过将点M（a，4）代入抛物线方程可知a=±4；
（2）通过设交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用${{{x}_{1}}^{2}=4y}_{1}$与${{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}$作差，结合中点坐标公式可知直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，利用点斜式可得弦所在直线，进而利用韦达定理及两点间距离公式计算即得弦长．

解答 解：（1）依题意，设抛物线方程为：x²=2py，
又∵4+$\frac{p}{2}$=5，即p=2，
∴抛物线的方程为：x²=4y，
又∵点M（a，4）在此抛物线上，
∴a²=16，a=±4；
（2）设交点为A、B，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由（1）可知，${{{x}_{1}}^{2}=4y}_{1}$、${{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}$，
两式相减得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=4（y₁-y₂），
∵直线AB的斜率存在，且点P为AB的中点，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
于是该弦所在的直线方程为：y-4=$\frac{1}{2}$（x-1），
联立直线与抛物线方程，整理得：x²-2x-14=0，
∴x₁x₂=-14，
于是|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{{2}^{2}+4×14}$
=5$\sqrt{3}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及中点坐标公式、韦达定理、两点间距离公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．