Question

4．已知点E、F、G分别为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、$B_1^{\;}{C_1}$的中点，如图，则下列命题为假命题的是（　　）

• A． 点P在直线FG上一定，总有AP⊥DE
• B． 点Q在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁QC的体积为定值
• C． 点M是正方体面A₁B₁C₁D₁内的点到点D和点C₁距离相等的点，则M的轨迹是一条直线
• D． 过F，D₁，G的截面是正方形

Answer 1

分析 利用正方体的特征，依次对各项命题进行判断．

解答 解：对于A：F、G分别为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC、B₁C₁的中点，直线FG底面ABCD，AE⊥DE
那么：点P在直线FG上总是有AP⊥DE，故A正确．
对于B：三棱锥A-D₁QC的体积等于Q-D₁AC的体积，∵D₁AC底面积不变，BC₁∥D₁AC底面，点Q在直线BC₁上运动到平面D₁AC距离不变，其体积为定值．故B正确．
对于C：到点D和点C₁距离相等的点轨迹为平面A₁BCD₁（中垂面），又点M在平面A₁B₁C₁D₁内，故M的轨迹是一条直线A₁D₁．故C正确．
对于D：过F，D₁，G的截面，因为D₁G是三角形D₁GC₁的斜边，GF是正方体的边长，所以截面不是正方形，故D不正确．
故选D．

点评 本题考查了正方体的特征，线线垂直，线面平面和动点轨迹问题．比较综合，有一点难度，属于中档题．