Question

14．直线$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=-3\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）和圆x²+y²=R²交于A、B两点，则线段AB的中点坐标为（　　）

• A． （3，-3）
• B． $（-\sqrt{3}，3）$
• C． $（\sqrt{3}，-3）$
• D． $（3，-\sqrt{3}）$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点M（x₀，y₀）．由直线参数方程消去参数t化为：$\sqrt{3}$x-y-4$\sqrt{3}$=0．与圆的方程联立化为：4x²-24x+48-R²=0，由已知可得：△＞0．利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点M（x₀，y₀）．
由直线$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=-3\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）消去参数化为：$\sqrt{3}$x-y-4$\sqrt{3}$=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-4\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={R}^{2}}\end{array}\right.$，化为：4x²-24x+48-R²=0，
由已知可得：△＞0．
∴x₁+x₂=6，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3，y₀=$\sqrt{3}×3-4\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
可得M$（3，-\sqrt{3}）$．
故选：D．

点评 本题考查了直线的参数方程化为普通方程、直线与圆相交问题、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．