Question

函数f（x）=

x2+a

bx+c

是奇函数，其中b为正整数，f（1）=2，且f（2）＞2．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）证明函数f（x）在[

1

2

，1]上的单调性，并求出f（x）在该区f（x）在该区间上的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）根据f（x）为奇函数可求出c=0，由b∈N^*，及f（1）=2，f（2）＞2能够求出a，b；
（2）求f′（x），判断f′（x）的符号，从而得到函数f（x）在[

1

2

，1]上单调递减，根据单调性即可f（x）在该区间上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=

x2+a

-bx+c

=-

x2+a

bx+c

，∴c=0；
f（1）=

1+a

b

=2，∴a=2b-1   ①；
f（2）=

4+a

2b

＞2     ②，将①带入②得

3+2b

2b

＞2，∵b∈N^*，∴b＜

3

2

，∴b=1，a=1；
∴f（x）=

x2+1

x

；
（2）f′（x）=

x2-1

x2

，∵x∈[

1

2

，1]，∴f′（x）≤0，即f（x）在[

1

2

，1]上单调递减；
∴f(x)∈[f(1)，f(

1

2

)]=[2，

5

2

]，即函数f（x）的值域为[2，

5

2

]．

点评：考查奇函数的定义，函数导数符号和函数单调性的关系，注意要正确求导．