Question

已知函数f（x）=

1

xsinθ

+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），
（1）求θ的值；
（2）若g（x）=f（x）+mx在[1，+∞）上为单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′(x)=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，从而

sinθx-1

sinθx2

≥0．由此能求出θ的值．
（2）由g′(x)=-

1

x2

+

1

x

+m=

mx2+x-1

x2

，得mx²+x-1≥0，或mx²+x-1≤0在[1，+∞）恒成立，由此能求出m的取值范围．
（3）构造F（x）=kx-

1

x

-lnx-

2e

x

=kx-

1+2e

x

-lnx，转化为：若在[1，e]上存在x₁，使得F（x₀）＞0，求实数k的取值范围，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出k的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

xsinθ

+lnx，
∴f′(x)=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即

sinθx-1

sinθx2

≥0．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．
故sinθx-1≥0在[1，+∞）上恒成立
只须sinθ•1-1≥0，即sinθ≥1，
又0＜sinθ≤1，只有sinθ=1，得θ=

π

2

．…（4分）
（2）g（x）=f（x）+mx=

1

x

+lnx+mx，
∴g′(x)=-

1

x2

+

1

x

+m=

mx2+x-1

x2

，
∵g（x）在其定义域内为单调函数，
∴mx²+x-1≥0，或mx²+x-1≤0在[1，+∞）恒成立．…（7分）
∴m≥

1-x

x2

，或m≤

1-x

x2

在[1，+∞）恒成立．
∵-

1

4

≤

1-x

x2

≤0，
∴m的取值范围是m≤-

1

4

，m≥0．…（8分）
（3）构造F（x）=kx-

1

x

-lnx-

2e

x

=kx-

1+2e

x

-lnx，
则转化为：若在[1，e]上存在x₁，使得F（x₀）＞0，求实数k的取值范围…（9分）
①当k≤0时，x∈[1，e]，F（x）＜0在[1，e]恒成立，
∴在[1，e]上不存在x₀，使得kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

成立．
②当k＞0时，F′(x)=k+

1+2e

x2

-

1

x

=

kx2+1+2e-x

x2

=

kx2+1+e+(e-x)

x2

，
∵x∈（1，e），∴e-x＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e）恒成立，
故F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）_max=F（e）=ke-

1

e

-3，
只要ke-

1

e

-3＞0，
解得k＞

3e+1

e2

．
综上，k的取值范围是（

3e+1

e2

，+∞）．…（14分）

点评：本题考查角的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．