Question

数列{a_n}前n项和为S_n，已知a₁=

1

3

，且对任意正整数m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，若S_n＜a恒成立则实数a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：由a_m+n=a_m•a_n，令m等于1，确定此数列是首项和公比都为

1

3

的等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S_n，S_n=

1

2

（1-

1

3n

）＜

1

2

，而S_n＜a恒成立，即可得到a的最小值．

解答： 解：令m=1，得到a_n+1=a₁•a_n，
∵a₁=

1

3

，
∴q=

1

3

，
∴此数列是首项为

1

3

，公比也为

1

3

的等比数列，则S_n=

1

2

（1-

1

3n

）＜

1

2

，
∵S_n＜a恒成立，∴a≥

1

2

，
则a的最小值为

1

2

，
故答案为：

1

2

．

点评：此题考查了等比数列关系的确定，掌握不等式恒成立时所满足的条件，灵活运用等比数列的前n项和的公式及会进行极限的运算，是一道综合题．