Question

数列{a_n}是等差数列，bn=(

1

2

)an，已知b1+b2+b3=

21

8

，b1b2b3=

1

8

，
（1）求{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）设c_n=a_n+b_n，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据条件，建立方程组即可求出数列{b_n}的通项公式；
（2）利用等比数列和等差数列的前n项和公式进行分组求和．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等差数列，
设{a_n}的公差为d．
则

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d为常数，
又b_n＞0．
即{b_n}为以(

1

2

)a1为首项，公比为(

1

2

)d的等比数列．
∵b1+b2+b3=

21

8

，b1b2b3=

1

8

，
∴

b

3 2

=

1

8

，∴b2=

1

2

，
∴b1+b3=

17

8

．
解得b₁=2，b₃=

1

8

或b₁=

1

8

，b₃=2
∴a₁=-1，d=2或a₁=3，d=-2．
∴当a₁=-1，d=2时，a_n=a₁+（n-1）d=2n-3．此时bn=(

1

2

)an=(

1

2

)2n-3．
当a₁=3，d=-2时，a_n=a₁+（n-1）d=5-2n．此时bn=(

1

2

)an=(

1

2

)5-2n．
（2）由（1）知，{b_n}为以(

1

2

)a1为首项，公比为(

1

2

)d的等比数列．
∴设{a_n}与{b_n}的前n项和分别为A_n，B_n，则{c_n}的前n项和S_n=A_n+B_n，
①若a_n=2n-3，则b_n=(

1

2

)2n-3．公比q=

1

4

，则S_n=A_n+B_n=

(3+2n-3)n

2

+

2[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=n²+

8

3

-

8

3

(

1

4

)n．
②若a_n=5-2n，则b_n=(

1

2

)5-2n．公比q=4，则S_n=A_n+B_n=

n(3+5-2n)

2

+

1 8 (1-4n)

1-4

=-n2+4n+

1

24

?4n-

1

24

．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式的计算，要求熟练掌握相应的通项公式和前n项和公式，考查学生的计算能力．