Question

如图，等腰直角△ABC中，AB=2，D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，EF∥AB，现沿DE折叠，使平面BDE⊥平面ADEF，若此时棱锥B-ADEF的体积最大，则BD的长为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,空间位置关系与距离

分析：由已知易得BD即为棱锥B-ADEF的高，此时底面ADEF为矩形，AD=2-x，DE=x，表示出棱锥B-ADEF的体积，利用导数法，可得棱锥B-ADEF的体积最大时，BD的长．

解答： 解：设BD的长为x时，棱锥B-ADEF的体积最大，
∵等腰直角△ABC中，AB=2，DE∥AC，EF∥AB，
∴BD即为棱锥B-ADEF的高，
此时底面ADEF为矩形，AD=2-x，DE=x，
故棱锥B-ADEF的体积V=

1

3

×BD×AD×DF=

1

3

（2-x）•x•x=-

1

3

x³+

2

3

x2，
则V′=-x²+

4

3

x，
当x＜

4

3

时，V′＞0，此时函数为增函数，当

4

3

＜x＜2时，V′＜0，此时函数为减函数，
故当BD=

4

3

时，棱锥B-ADEF的体积最大，
故答案为：

4

3

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，导数法研究函数的最值，难度中档．