题目内容
设0＜x1＜x2＜
．
（Ⅰ）证明：x1＞sinx1
（Ⅱ）x1sinx2cosx1＞x2sinx1cosx2．
| π |
| 2 |
（Ⅰ）证明：x1＞sinx1
（Ⅱ）x1sinx2cosx1＞x2sinx1cosx2．
考点：综合法与分析法(选修）
专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）构造函数f（x）=x-sinx （0＜x＜
），利用导数证明其为增函数，则结论可证；
（Ⅱ）构造函数g（x）=xcotx （0＜x＜
），利用导数证明其为增函数，则结论可证．
| π |
| 2 |
（Ⅱ）构造函数g（x）=xcotx （0＜x＜
| π |
| 2 |
解答：
证明：（Ⅰ）令f（x）=x-sinx （0＜x＜
），
∴f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）=x-sinx （0＜x＜
）为增函数，
∵0＜x1＜
，
∴f（x1）＞f（0），即x1-sinx1＞0，
∴x1＞sinx1；
（Ⅱ）令g（x）=xcotx （0＜x＜
），
则g′（x）=cotx-xcsc2x=
＜0，
∴g（x）=xcotx （0＜x＜
）为减函数，
∵0＜x1＜x2＜
，
则x1
＞x2
，即x1sinx2cosx1＞x2sinx1cosx2．
| π |
| 2 |
∴f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）=x-sinx （0＜x＜
| π |
| 2 |
∵0＜x1＜
| π |
| 2 |
∴f（x1）＞f（0），即x1-sinx1＞0，
∴x1＞sinx1；
（Ⅱ）令g（x）=xcotx （0＜x＜
| π |
| 2 |
则g′（x）=cotx-xcsc2x=
| sinxcosx-x |
| sin2x |
∴g（x）=xcotx （0＜x＜
| π |
| 2 |
∵0＜x1＜x2＜
| π |
| 2 |
则x1
| cosx1 |
| sinx1 |
| cosx2 |
| sinx2 |
点评：本题考查了综合法证明三角不等式，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
f（x）=2x4-3x2+1在[
，2]上的最大值、最小值分别是（ ）
| 1 |
| 2 |
A、21，-
| ||
B、1，-
| ||
| C、21，0 | ||
D、0，-
|
如图，等腰直角△ABC中，AB=2，D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，EF∥AB，现沿DE折叠，使平面BDE⊥平面ADEF，若此时棱锥B-ADEF的体积最大，则BD的长为已知方程
x2+
x+
=0，其中
，
，
是非零向量，且
，
不共线，则该方程（ ）
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| A、至多有一个解 |
| B、至少有一个解 |
| C、至多有两个解 |
| D、可能有无数多个解 |
已知实数满足x2+y2=4，那么3y-4x的最大值为（ ）
| A、10 | ||
| B、8 | ||
| C、6 | ||
D、
|