Question

设函数f（x）=x²+bx-alnx，
（Ⅰ） 若x=2是函数f（x）的极值点，1是函数f（x）的一个零点，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ） 若对任意b∈[-2，-1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求导得到f′(x)=2x-

a

x

+b，由，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，继而求出函数的解析式，
（Ⅱ）令g（b）=xb+x²-alnx，b∈[-2，-1]，问题转化为在x∈（1，e）上g（b）_max=g（-1）＜0有解即可，亦即只需存在x₀∈（1，e）使得x²-x-alnx＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1-a≥0，1-a＜0，看是否存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）＜h（1）=0，进而得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=2x-

a

x

+b，
∵x=2是函数f（x）的极值点，
∴f′（2）=4-

a

2

+b=0．
∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，
由

4- a 2 +b=0 1+b=0

，
解得a=6，b=-1．
∴f（x）=x²-x-6lnx，
（Ⅱ）令g（b）=xb+x²-alnx，b∈[-2，-1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，
根据题意，对任意b∈[-2，-1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，
则在x∈（1，e）上g（b）_max=g（-1）=-x+x²-alnx＜0，有解，
令h（x）=x²-x-alnx，只需存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）＜0即可，
由于h′（x）=2x-1-

a

x

，
令φ（x）=2x²-x-a，x∈（1，e），φ'（x）=4x-1＞0，
∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1-a，
①当1-a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意．
②当1-a＜0，即a＞1时，φ（1）=1-a＜0，φ（e）=2e²-e-a
若a≥2e²-e＞1，则φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，
∴存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）＜h（1）=0，符合题意．
若2e²-e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，
∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，
∴存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）＜h（1）=0，符合题意．
综上所述，当a＞1时，对任意b∈[-2，-1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．

点评：本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答