Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=

3

，P是AB的中点，该矩形有一内接Rt△PQR，P为直角顶点，Q、R分别落在线段BC和线段AD上，记Rt△PQR的面积为S． 
（Ⅰ）设∠BPQ为α，求S=f（α）及f（α）的最大值；
（Ⅱ）设BQ=x，求S=g（x）及g（x）的最小值．

Answer 1

考点：已知三角函数模型的应用问题

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意表示出S=

1

2

PR•PQ=

1

2

•

1

cosα

•

1

sinα

=

1

sin2α

，从而求f（α）的最大值；
（Ⅱ）设BQ=x，BP=1，PQ=

1+x2

，S=g(x)=

1

2

1+x2

•

1+ 1 x2

=

1

2

x2+ 1 x2 +2

，利用换元法求函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）由图知，在Rt△PBQ中，PQ=

1

cosα

；
在Rt△PAR中，RP=

1

sinα

．
∵∠RPQ为直角，
∴S=

1

2

PR•PQ=

1

2

•

1

cosα

•

1

sinα

=

1

sin2α

． 
又∵R，Q分别在线段AD、BC上，
∴

π

6

≤α≤

π

3

，∴

π

3

≤2α≤

2π

3

，
∴sin2α∈[

3

2

，1]，
∴当2α=

π

3

或

2π

3

时，(sin2α)min=

3

2

，
∴Smax=

2 3

3

．
∴S=f(α)=

1

sin2α

(

π

6

≤α≤

π

3

)，
S=f（α）的最大值为

2

3

3

．
（Ⅱ）∵BQ=x，BP=1，
∴PQ=

1+x2

，
又∵△PBQ∽△RAP，
∴

BQ

BP

=

AP

AR

，
∴AR=

1

x

，
∴PR=

1+ 1 x2

，
∴S=g(x)=

1

2

1+x2

•

1+ 1 x2

=

1

2

x2+ 1 x2 +2

．
又∵R，Q分别在线段AD、BC上，
∴

3

3

≤x≤

3

，
∴S=g（x）=

1

2

x2+ 1 x2 +2

（

3

3

≤x≤

3

）．
令t=x2，则

1

3

≤t≤3，S=

1

2

t+ 1 t +2

(

1

3

≤t≤3)，
函数y=t+

1

t

在[

1

3

，1]单调递减，在[1，3]单调递增．证明如下，
设

1

3

≤t1＜t2≤3，
y1-y2=(t1+

1

t1

)-(t2+

1

t2

)=(t1-t2)

(t1t2-1)

t1t2

，
若

1

3

≤t1＜t2≤1，t1-t2＜0，t1t2-1＜0，t1t2＞0，
∴y₁-y₂＞0，即y₁＞y₂，
∴y=t+

1

t

在[

1

3

，1]上单调递减；
若1≤t₁＜t₂≤3，t₁-t₂＜0，t₁t₂-1＞0，t₁t₂＞0，
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂，
∴y=t+

1

t

在[1，3]上单调递增．
∴当t=1时，y达到最小值2．
∴g(x)min=

1

2

2+2

=1．

点评：本题考查了函数的解析式的求法，函数单调性的判断与应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．