Question

已知首项a₁=1各项都是正数的数列{a_n}（n∈N^*），使目标函数z=3x+2y在约束条件

y≤anx 7x+2y≤2an+1 y≥-1

下最大值为2（a_n+1）²．
（1）求a_n与a_n+1的关系；
（2）证明：b_n=

2an-1

an+3

是等比数列；
（3）证明：

n+1

2

≤a₁+a₂+…+a_n≤

n+2

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）画出平面区域，由Z的几何意义得出Z的最大值，即可求得结论；
（2）利用等比数列的定义证明即可；
（3）利用放缩法证明．

解答： 解：（1）∵

y≤anx 7x+2y≤2an+1 y≥-1

∴画出其表示的平面区域如图：

∴z=3x+2y即y=-

3

2

x+

z

2

过点A时Z有最大值，
由

y=anx 7x+2y=2an+1

解得A（

2an+1

7+2an

，

2anan+1

2an+7

），
∴3×

2an+1

7+2an

+2×

2anan+1

2an+7

=2（a_n+1）²．
∴a_n+1=

2an+3

2an+7

．
（2）b_n=

2an-1

an+3

，
∴b_n+1=

2an+1-1

an+1+3

=

2• 2an+3 2an+7 -1

2an+3 2an+7 +3

=

1

8

•

2an-1

an+3

=

1

8

b_n，
又b₁=

2×1-1

1+3

=

1

4

，
∴{b_n}是首项为

1

4

，公比为

1

8

的等比数列．
（3）由（2）得b_n=

1

4

×(

1

8

)n-1=

1

23n-1

＞0，
∴

2an-1

an+3

=b_n，解得a_n=

7

2-bn

-3＞

7

2

-3=

1

2

，
∴a₁+a₂+…+a_n≥a₁+

1

2

+…+

1

2

=1+

n-1

2

=

n+1

2

，
又a_n=

7

2-bn

-3=

1+3bn

2-bn

=

1

2

+

7 2 bn

2-bn

=

1

2

+

7

23n+1-2

≤

1

2

+

1

2n

，
∴a₁+a₂+…+a_n≤

n

2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

n

2

+1-

1

2n

＜

n

2

+1=

n+2

2

，
∴

n+1

2

≤a₁+a₂+…+a_n≤

n+2

2

．

点评：本题主要考查平面区域的画法及目标函数最值的求法，考查等比数列的定义及不等式的证明，考查学生放缩法的运用及运算求解能力，属于难题．