Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=

2

，AD=AA₁=1，M是A₁C₁的中点．
（1）求证：CM∥平面A₁BD，
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CM∥平面A₁BD．
（2）分别求出平面DBC₁的法向量和平面A₁BD的法向量，由此能求出二面角A₁-BD-C₁的平面角．

解答： （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
则M（

1

2

，

2

2

，1），C（0，

2

，0），C₁（0，

2

，1），
A₁（1，0，1），B（1，

2

，0），D₁（0，0，1），

A1B

=（0，

2

，-1），

A1D

=（-1，0，-1），

CM

=（

1

2

，-

2

2

，1），
设平面A₁BD的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • A1B = 2 y-z=0 n • A1D =-x-z=0

，
取y=

2

，得

n

=（-2，

2

，2），
∵

n

•

CM

=-1-1+2=0，CM不包含于平面A₁BD，
∴CM∥平面A₁BD．
（2）解：

DB

=（1，

2

，0），

DC1

=（0，

2

，1），
设平面DBC₁的法向量

m

=（a，b，c），
则

DB • m =a+ 2 b=0 DC1 • m = 2 b+c=0

，
取a=2，得

m

=（2，-

2

，2），
又平面A₁BD的法向量

n

=（-2，

2

，2），
设二面角A₁-BD-C₁的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

-4-2+4

10 • 10

|=

1

5

．

点评：本题直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．