Question

在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4

2

sin（θ+

π

4

）．现以点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=-2+ 1 2 t y=-3+ 3 2 t

（t为参数）．
（I）写出直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P（-2，-3），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把直线的参数方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程带入到圆C，利用韦达定理以及直线标准参数方程下t的几何意义求得|PA|•|PB|的值

解答： （Ⅰ）曲线C的极坐标方程即 ρ=4

2

sin(θ+

π

4

)=4sinθ+4cosθ，
所以ρ²=4ρsinθ+4ρcosθ，所以x²+y²-4x-4y=0，即（x-2）²+（y-2）²=8．
把直线l的参数方程为

x=-2+ 1 2 t y=-3+ 3 2 t

（t为参数）消去参数，
化为普通方程为：

3

x-y+2

3

-3=0．
（Ⅱ）把直线l的参数方程带入到圆C：x²+y²-4x-4y=0，
得t2-(4+5

3

)t+33=0，∴t1，2=

4+5 3 ± 40 3 -41

2

，∴t₁t₂=33．
因为点P（-2，-3）显然在直线l上，由直线标准参数方程下t的几何意义知|PA||PB|=|t₁t₂|=33，
所以|PA||PB|=33．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，参数的几何意义，属于基础题．