Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

2

2

）和（

2

2

，

3

2

），其中e为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）为椭圆C上一点，取点A（0，

2

），E（x₀，0），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于原点的对称点．证明：直线QG与椭圆C只有一个公共点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

1 a2 + 1 2 b2 =1 1 2 a2 + 3 4 b2 =1

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设D（x₁，0），∵A（0，

2

），E（x₀，0），

AE

=(x0，-

2

)，

AD

=(x1，-

2

)，由

AE

•

AD

=x1x0+2=0，得x1=-

2

x0

，所以l_QG：y=

2-x0x

2y0

，代入椭圆方程，得：x2+2•(

2-x0x

2y0

)2=2，由△=0能证明直线QG与椭圆C只有一个公共点．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

2

2

）和（

2

2

，

3

2

），
∴

1 a2 + 1 2 b2 =1 1 2 a2 + 3 4 b2 =1

，解得a²=2，b²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）证明：设D（x₁，0），∵A（0，

2

），E（x₀，0），
∴

AE

=(x0，-

2

)，

AD

=(x1，-

2

)，
由题意知AE与AD垂直，
∵

AE

•

AD

=x1x0+2=0，
∴x1=-

2

x0

，
∴kQG=

y0

x0- 2 x0

=

y0x0

x02+2

=

x0

-2y0

，
∴l_QG：y-y0=-

x0

2y0

(x-x0)，
整理，得y=

2-x0x

2y0

，（*）
将（*）式代入椭圆方程，得：x2+2•(

2-x0x

2y0

)2=2，
整理，得2x2-4x0x+2x02=0，
∴△=(-4x0)2-4•2•2x02
=16x₀²-16x02=0．
∴直线QG与椭圆C只有一个公共点．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆只有一个公共点的证明，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．