Question

曲线E：

x2

m

+

y2

n

=1(m＞0，n＞0)与正方形M：|x|+|y|=4的边界相切．
（1）求m+n的值；
（2）设直线l：y=x+b交曲线E于A，B，交M于C，D，且|CD|=4

2

．是否存在这样的曲线E，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差数列？若存在，求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由

x2 m + y2 n =1 x+y=4

，得（n+m）x²-8mx+16m-mn=0，由△=0能求出m+n=16．
（2）由2|AB|=|CA|+|BD|，得|AB|=

4 2

3

，由

x2 m + y2 n =1 y=x+b

，得（m+n）x²+2bmx+mb²-mn=0，由△＞0得b²＜m+n=16，mh|AB|=

2

•

4mn(16-b2)

16

=

4 2

3

，得

(16-b2)mn

=

32

3

，由此能求出存在这样的直线l和曲线C，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差数列．

解答： 解：（1）由

x2 m + y2 n =1 x+y=4

，得（n+m）x²-8mx+16m-mn=0，
△=64m²-4（m+n）（16m-mn）=0，
化简，得4mn（m+n）-64mn=0，
又m＞0，n＞0，∴mn＞0，
∴m+n=16．
（2）由2|AB|=|CA|+|BD|，得3|AB|=4

2

，即|AB|=

4 2

3

，
由

x2 m + y2 n =1 y=x+b

，得（m+n）x²+2bmx+mb²-mn=0，
由△=4m²b²-4（mb²-mn）（m+n）＞0，
得b²＜m+n=16，
且x1+x2=

-2bm

n+m

，x1x2=

mb2-mn

m+n

．
∴|AB|=

1+k2

•

4m2b2-4(mb2-mn)(m+n)

|a|

=

2

•

4mn(16-b2)

16

=

4 2

3

，
解得

(16-b2)mn

=

32

3

，
∴

32

3

•

1

16-b2

-

mn

≤

m+n

2

-8，
∴b2≤

128

9

，∴-

8 2

3

≤b≤

8 2

3

，符合b²＜m+n=16，
∴当实数b的取值范围是-

8 2

3

≤b≤

8 2

3

时，
存在这样的直线l和曲线C，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差数列．

点评：本题考查实数和的求法，考查使三条线段成等差数列的曲线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．