Question

已知函数f（x）=（x-2m）（nx+2）（m＞0，n＞0）为偶函数．
（1）若k≤f（2）+6m恒成立，求k的取值范围；
（2）当m=1时，若函数g（x）=（a-2）lnx+f（x）在区间（2，3）内不是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得：f（x）=nx²+（2-2mn）x-4m，又f（x）为偶函数，得f（2）=4n-4m，从而k≤[f（2）+6m]_min=4

2

，
（2）求出函数f（x）的表达式，求出函数g（x）的导数，再通过讨论a的范围，从而解决问题．

解答： 解：（1）由已知得：f（x）=nx²+（2-2mn）x-4m，
又f（x）为偶函数，∴2-2mn=0，即mn=1，
∴f（2）=4n-4m，
∴f（2）+6m=4n+2m≥2

4n•2m

=4

2

，
又k≤f（2）+6m恒成立，
∴k≤[f（2）+6m]_min=4

2

，
∴k的范围是（-∞，4

2

]；
（2）由（1）得：m=1时，n=1，
∴f（x）=x²-4，
∴g（x）=（a-2）lnx+x²-4，
∴g′（x）=

2x2+(a-2)

x

，
①a≥2时，g′（x）＞0，则g（x）在（2，3）单调递增，
②a＜2时，g′（x）=

2(x+ 2-a 2 )(x- 2-a 2 )

x

，
又函数g（x）在区间（2，3）内不是单调函数，
∴2＜

2-a 2

＜3，
∴-16＜a＜-6，
∴a的范围是（-16，-6）．

点评：本题考察了函数的单调性，求参数的范围，导数的应用，是一道综合题．