题目内容

已知不等式|a-2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，求实数a的取值范围．
考点：二维形式的柯西不等式
专题：选作题,不等式
分析：不等式|a-2|≤x2+2y2+3z2恒成立，只要|a-2||≤（x2+2y2+3z2）min，利用柯西不等式求出x2+2y2+3z2的最小值，再解关于a的绝对值不等式即可．
解答： 解：因为已知x，y，z是实数，且x+y+z=1，
根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2
故有（x2+2y2+3z2）（1+
1
2
+
1
3
）≥（x+y+z）2
故x2+2y2+3z2≥
6
11
，当且仅当x=
6
11
，y=
3
11
，z=
2
11
时取等号，
∵不等式|a-2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，
∴|a-2|≤
6
11
，
∴
16
11
≤a≤
28
11
．
点评：本题主要考查了柯西不等式求解最值的应用及函数的恒成立与最值的相互转化关系的应用．
练习册系列答案
相关题目
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4
2
sin（θ+
π
4
）．现以点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=-2+
1
2
t
y=-3+
3
2
t
（t为参数）．
（I）写出直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P（-2，-3），求|PA|•|PB|的值．
已知函数f（x1）=
2
x+1
，fn+1（x）=f1（fn（x）），且an=
fn(0)-1
fn(0)+2

（1）求证：{an}为等比数列，并求其通项公式；
（2）设bn=
(-1)n-1
2an
，g（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
（n∈N*），求证：g（bn）≥
n+2
2
．
某超市制定“五一”期间促销方案，当天一次性购物消费额满1000元的顾客可参加“摸球抽奖赢代金券”活动，规则如下：
①每位参与抽奖的顾客从一个装有2个红球和4个白球的箱子中逐次随机摸球，一次只摸出一个球；
②若摸出白球，将其放回箱中，并再次摸球；若摸出红球则不放回，工作人员往箱中补放一白球后，再次摸球；
③如果连续两次摸出白球或两个红球全被摸出，则停止摸球．
停止摸球后根据摸出的红球个数领取代金券，代金券数额Y与摸出的红球个数x满足如下关系：Y=144+72x（单位：元）．
（Ⅰ）求一位参与抽奖顾客恰好摸球三次即停止摸球的概率；
（Ⅱ）求随机变量Y的分布列与期望．
已知函数f（x）=
1
2
ax2-（2a+1）x+2lnx．
（1）若a=
1
2
，求f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（2）若a≠
1
2
，求函数f（x）的单调区间；
（3）已知函数h（x）=（
1
2
a-1）x2-x+（2a+2）lnx，若h（x）=f（x）有唯一解，求正数a的值．
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x=2cosα+2
y=2sinα
（α为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，则直线l被曲线C截得的弦长为
 
．
已知P1（x1，x2），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin（θ+
π
4
）=
3
5
，则的x1x2+y1y2值为
 
．
在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C1：
x=2+
3
5
t
y=
4
5
t
（0＜a＜1为参数）和曲线C2：ρsin2θ=2cosθ相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，则点M的直角坐标为
 
．
若sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=0，则sin（α+2β）+sin（α-2β）=
 
．

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