Question

已知定义在R上的函数f（x）满足x＞

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时，f（x）＞0，且f（

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）=0，对任意m、n，f（m+n）=f（m）+f（n）+

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，判断f（x）的单调性．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由条件可令m=n=0，得到f（0），令m=x，n=-x，得到f（-x）=-f（x）-1．由于x＞

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时，f（x）＞0，运用等式，推出x＞0时，f（x）＞-

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，再由单调性的定义，即可得到函数f（x）的单调性．

解答： 解：由于任意m、n，f（m+n）=f（m）+f（n）+

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，
令m=n=0，则f（0）=2f（0）+

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，即有f（0）=-

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，
令m=x，n=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）+

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，即有f（-x）=-f（x）-1．
由于x＞

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时，f（x）＞0，
则f（x-

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）=f（x）+f（-

1

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）+

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=f（x）-f（

1

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）-

1

2

=f（x）-

1

2

＞-

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2

，
即有x＞0时，f（x）＞-

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，
令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，有f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）+

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=f（x₂）-f（x₁）-1+

1

2

=f（x₂）-f（x₁）-

1

2

＞-

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2

，
即有f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在R上为增函数．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的单调性的判断，注意运用定义，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．