Question

4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱BB₁上，且B₁D⊥A₁F，A₁C₁⊥A₁B₁．
（Ⅰ）若AC=3，AB=AA₁=4，求三棱锥B-DEB₁的体积；
（Ⅱ）求证：平面B₁DE⊥平面A₁C₁F．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由${V}_{B-DE{B}_{1}}$=${V}_{{B}_{1}-BDE}$，能求出三棱锥B-DEB₁的体积．
（Ⅱ）推导出AA₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥A₁B₁，从而A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，进而A₁C₁⊥B₁D，再由B₁D⊥A₁F，能证明平面B₁DE⊥平面A₁C₁F．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE∥AC，$DE=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}$，$BD=\frac{1}{2}AB=2$．（2分）
∵A₁C₁⊥A₁B₁，∴AC⊥AB，DE⊥DB．（3分）
∴${S_{△BDE}}=\frac{1}{2}BD•DE=\frac{1}{2}×2×\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$．（4分）
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴B₁B⊥平面ABC，BB₁=AA₁=4，
∴${V}_{{B}_{1}-BDE}$=$\frac{1}{3}×B{B}_{1}$×S_△BDE=$\frac{1}{3}×4×\frac{3}{2}$=2，（5分）
∵${V}_{B-DE{B}_{1}}$=${V}_{{B}_{1}-BDE}$，∴三棱锥B-DEB₁的体积为2．（6分）
证明：（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C，
∵A₁C₁?平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥A₁C₁．（7分）
又∵A₁C₁⊥A₁B₁，AA₁?平面ABB₁A₁，A₁B₁?平面ABB₁A₁，A₁B₁∩AA₁=A₁，
∴A₁C₁⊥平面ABB₁A₁．（8分）
∵B₁D?平面ABB₁A₁，∴A₁C₁⊥B₁D．（9分）
又∵B₁D⊥A₁F，A₁C₁?平面A₁C₁F，A₁F?平面A₁C₁F，A₁C₁∩A₁F=A₁，
∴B₁D⊥平面A₁C₁F．（11分）
∵直线B₁D?平面B₁DE，∴平面B₁DE⊥平面A₁C₁F．（12分）

点评 本题三棱锥的体积的求法，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．