Question

13．已知点P（-2，2）在圆O：x²+y²=r²（r＞0）上，直线l与圆O交于A，B两点．
（1）r=2$\sqrt{2}$；
（2）如果△PAB为等腰三角形，底边$AB=2\sqrt{6}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用点P（-2，2）在圆O：x²+y²=r²（r＞0）上，即可求出r；
（2）利用弦长公式，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）∵点P（-2，2）在圆O：x²+y²=r²（r＞0）上，
∴r=2$\sqrt{2}$．…（1分）
（2）因为△PAB为等腰三角形，且点P在圆O上，
所以PO⊥AB．
因为PO的斜率$k=\frac{2-0}{-2-0}=-1$，
所以可设直线l的方程为y=x+m．
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+{y^2}=8\end{array}\right.$得2x²+2mx+m²-8=0．△=4m²-8×（m²-8）=64-4m²＞0，
解得-4＜m＜4．
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
可得${x_{1，2}}=\frac{{-2m±\sqrt{64-4{m^2}}}}{4}=\frac{{-m±\sqrt{16-{m^2}}}}{2}$．
所以$|AB|=\sqrt{2}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{2（16-{m^2}）}=2\sqrt{6}$．
解得m=±2．
所以直线l的方程为x-y+2=0，x-y-2=0．…（5分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．