题目内容

12.已知函数$f(x)=3cos(ωx+\frac{π}{3})(ω>0)$和g(x)=2sin(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同,若$x∈[0,\frac{π}{3}]$,则f(x)的取值范围是(  )
A.[-3,3]B.$[-\frac{3}{2},3]$C.$[-3,\frac{{3\sqrt{3}}}{2}]$D.$[-3,\frac{3}{2}]$

分析 先求出f(x)的解析式,再结合余弦函数的单调性,即可求出f(x)的取值范围.

解答 解:因为函数f(x)和g(x)的图象的对称轴完全相同,故f(x)和g(x)的周期相同,所以ω=2,
所以$f(x)=3cos(2x+\frac{π}{3})$,
由$x∈[0,\frac{π}{3}]$,得$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3},π]$,根据余弦函数的单调性,当$2x+\frac{π}{3}=π$,
即$x=\frac{π}{3}$时,f (x)min=-3,
当$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$,即x=0时,f (x)max=$\frac{3}{2}$,
所以f (x)的取值范围是$[-3,\frac{3}{2}]$,
故选D.

点评 本题考查三角函数的图象与性质,考查学生的计算能力,确定函数的解析式是关键.

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