随着社会的发展.终身学习成为必要.工人知识要更新.学习培训必不可少.现某工厂有工人1000名.其中250名工人参加过短期培训.另外750名工人参加过长期培训.从该工厂的工人中共抽查了100名工人.调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)得到A类工人生产能力的茎叶图(图1).B类工人生产能力的频率分布直方图(图2)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人），从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到A类工人生产能力的茎叶图（图1），B类工人生产能力的频率分布直方图（图2）．

（Ⅰ）问A类、B类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的x；
（Ⅱ）求A类工人生产能力的中位数，并估计B类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）若规定生产能力在[130，150]内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关．
能力与培训时间列联表

	短期培训	长期培训	合计
能力优秀	8	54	62
能力不优秀	17	21	38
合计	25	75	100

参考数据：

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

分析（Ⅰ）由茎叶图知A类工人中抽查人数为25名，B类工人中应抽查100-25=75，由频率分布直方图求出x；
（Ⅱ）由茎叶图知A类工人生产能力的中位数为122，由（Ⅰ）及频率分布直方图，估计B类工人生产能力的平均数；
（Ⅲ）求出K²，与临界值比较，即可得出结论．

解答解：（Ⅰ）由茎叶图知A类工人中抽查人数为25名，…（1分）
∴B类工人中应抽查100-25=75（名）．…（2分）
由频率分布直方图得（0.008+0.02+0.048+x）×10=1，得x=0.024．…（3分）
（Ⅱ）由茎叶图知A类工人生产能力的中位数为122 …（4分）
由（Ⅰ）及频率分布直方图，估计B类工人生产能力的平均数为${\bar x_B}$=115×0.008×10+125×0.020×10+135×0.048×10+145×0.024×10=133.8 …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）及所给数据得能力与培训的2×2列联表，

	短期培训	长期培训	合计
能力优秀	8	54	62
能力不优秀	17	21	38
合计	25	75	100

…（9分）
由上表得$k=\frac{{100×{{（8×21-17×54）}^2}}}{25×75×38×62}=\frac{{100×{{750}^2}}}{25×75×38×62}≈12.733$＞10.828 …（11分）
因此，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关．…（12分）

点评本题考查频率分布直方图及独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．