Question

已知数列{a_n}中满足a₁=15，

an+1-an

n

=2，则

an

n

的最小值为（　　）

• A、10
• B、2

  15

  -1
• C、9
• D、

  27

  4

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a_n+1-a_n=2n，从而a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=n²-n+15，进而

an

n

=n+

15

n

-1，由此能求出当且仅当n=

15

n

，即n=4时，

an

n

取最小值4+

15

4

-1=

27

4

．

解答： 解：∵数列{a_n}中满足a₁=15，

an+1-an

n

=2，
∴a_n+1-a_n=2n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=15+2+4+6+8+…+2（n-1）
=15+

(n-1)n

2

×2
=n²-n+15，
∴

an

n

=n+

15

n

-1≥2

15

-1，
∴当且仅当n=

15

n

，即n=4时，

an

n

取最小值4+

15

4

-1=

27

4

．
故选：D．

点评：本题考查

an

n

的最小值的求法，是中档题，解题时要注意累加法和均值定理的合理运用．