Question

已知圆C的圆心在直线y=-4x上，且与直线x+y-1=0相切于点P（3，-2）．
（Ⅰ）求圆C方程；
（Ⅱ）点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E、F两点，且使三角形S_△OEF=2

2

（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，若不存在用计算过程说明理由．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y-1=0垂直的直线为y=x-5，与直线y=-4x联立，解得圆心为（1，-4），由此能求出圆的方程．
（Ⅱ）设N（a，b），由点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称，得N（1，0），当斜率不存在时，直线l方程为x=1，满足题意；当斜率存在时，设直线l的方程为 y=k（x-1），由点到直线距离公式结合已知条件推导出不存在这样的实数k．从而所求的直线方程为x=1．

解答： 解：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，即y=x-5．（1分）
与直线y=-4x联立，解得圆心为（1，-4），…（2分）
所以半径r=

(3-1)2+(-2+4)2

=2

2

所以所求圆的方程为（x-1）²+（y+4）²=8．…（4分）
（Ⅱ）设N（a，b），∵点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称，
∴

b+1 2 = a 2 b-1 a =-1

⇒a=1，b=0，∴N（1，0）…（5分）
注意：若没证明，直接得出结果N（1，0），不扣分．
（1）当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，
原点到直线的距离为d=1，同时令x=1，
代人圆方程得y=-4±2

2

，
所以|EF|=4

2

，所以S△OEF=

1

2

×1×4

2

=2

2

满足题意，
此时方程为x=1．…（8分）
（2）当斜率存在时，设直线l的方程为 y=k（x-1），即kx-y-k=0
圆心C（1，-4）到直线l的距离d=

|k+4-k|

k2+1

=

4

k2+1

，…（9分）
设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，
在Rt_△CDE中，DE=

8-d2

=

8- 16 k2+1

=

2 2 k2-1

k2+1

所以EF=

4 2 k2-1

k2+1

，…（10分）
而原点到直线的距离为d1=

|k|

k2+1

，
所以S△OEF=

1

2

•

4 2 k2-1

k2+1

•

|k|

k2+1

=

2 2 |k| k2-1

k2+1

=2

2

，…（12分）
整理得3k²+1=0，不存在这样的实数k．
综上所述，所求的直线方程为x=1．…（14分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．