Question

已知函数y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]上的图象如图所示：给出下列四个命题：

①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；  
②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根；
③方程f[f（x）]=0有且仅有7个根；  
④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．

解答： 解：①设t=g（x），则由f[g（x）]=0，即f（t）=0，则t₁=0或-2＜t₂＜-1或1＜t₃＜2，
当t₁=0时，t=g（x）有2个不同值，
当-2＜t₂＜-1时，t=g（x）有2个不同值，
当1＜t₃＜2，时，t=g（x）有2个不同值，∴方程f[g（x）]=0有且仅有6个根，故①正确．
②设t=f（x），若g[f（x）]=0，即g（t）=0，
则-2＜t₁＜-1或0＜t₂＜1，
当-2＜t₁＜-1时，t=f（x）有1个不同值，
当0＜t₂＜1时，t=f（x）有3个不同值，
∴方程g[f（x）]=0有且仅有4个根，故②错误．
③设t=f（x），若f[f（x）]=0，即f（t）=0，
则t₁=0或-2＜t₂＜-1或1＜t₃＜2，
当t₁=0时，t=f（x）有3个不同值，
当-2＜t₂＜-1时，t=f（x）有1个不同值，
当1＜t₃＜2，时，t=f（x）有1个不同值，∴方程f[f（x）]=0有且仅有5个根，故③错误．
④设t=g（x），若g[g（x）]=0，即g（t）=0，
则-2＜t₁＜-1或0＜t₂＜1，
当-2＜t₁＜-1时，t=g（x）有2个不同值，
当0＜t₂＜1时，t=g（x）有2个不同值，∴方程g[g（x）]=0有且仅有4个根，故④正确．
故正确的是①④，
故答案为：①④

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，根据函数的图象，分别判断根的个数，考查学生的逻辑思维能力及识别图象的能力．