Question

已知函数f（x）=

1+x2

．
（Ⅰ） 设x₁、x₂都是实数，且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|；
（Ⅱ） 设a、b都是实数，且a²+b²=

1

2

，求证：f（a）+f（b）≤

5

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）|f(x2)-f(x1)|=

|x1-x2||x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

，|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|．
（Ⅱ）[f（a）+f（b）]²≤2[a²+b²+2]，由此能求出f(a)+f(b)≤

5

．

解答： 证明：（Ⅰ）∵|f(x2)-f(x1)|=

|x1-x2||x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

，
又∵|x₁+x₂|≤|x₁|+|x₂|，

1+ x 2 1

+

1+ x 2 2

＞|x1|+|x2|，
∴

|x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

＜1，
又∵x₁、x₂∈R，x₁≠x₂，
∴|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|．

（Ⅱ）∵[1×f（a）+1×f（b）]²≤（1²+1²）[f²（a）+f²（b）]，
即[f（a）+f（b）]²≤2[a²+b²+2]，
又∵f(x)=

1+x2

＞0，a2+b2=

1

2

，
∴f(a)+f(b)≤

5

．

点评：本题考查不等式的性质的合理运用，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．