Question

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B=

π

3

．
（Ⅰ）若a=2，b=

7

，求c的值；
（Ⅱ）设b=

3

，S为△ABC的面积，求

3

S-cosAcosC的最大值．

Answer 1

考点：正弦函数的奇偶性,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用余弦定理求得c=3．
（Ⅱ）由b=

3

，利用正弦定理求得a=2sinA，c=2sinC．再利用三角恒等变换化简

3

S-cosAcosC为sin（2A-

π

6

）+1，再利用正弦函数的值域求得

3

S-cosAcosC的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵B=

π

3

，a=2，b=

7

，由余弦定理可得b²=a²+c²-2ac•cosB，
即7=4+c²-4c•cos

π

3

，求得c=3．
（Ⅱ）由b=

3

，利用正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

3

3 2

=2，∴a=2sinA，c=2sinC．
又S为△ABC的面积，故

3

S-cosAcosC=

3

•

1

2

ac•sinB-cosAcosC
=

3

•

1

2

•2sinA•2sinC•

3

2

-cosAcosC=3sinA•sinC-cosAcosC=2sinA•sinC-cos（A+C）
=2sinA•sinC+cosB=2sinAsin（

2π

3

-A）+

1

2

=sin²A+

3

sinAcosA+

1

2

=

3

2

sin2A-

1

2

cos2A+1=sin（2A-

π

6

）+1，
故当A=

π

3

时，

3

S-cosAcosC 取得最大值为2．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形内角和公式，三角函数的恒等变换，属于基础题．