Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]，当且仅当在x=1处取得极值？

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）求导数，利用导数的正负，可确定函数f（x）的单调区间；
（II）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，求导函数，利用函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在x=1时总存在极值，解方程，从而求出m的值．

解答： 解：求导数可得：f'（x）=

a

x

-a（a＞0）
（I）当a=1时，f′（x）=

1-x

x

，
令f'（x）＞0时，解得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间是（0，1）；
令f'（x）＜0时，解得x＞1，所以f（x）的单调递减区间是（1，+∞）．
（II）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，所以f'（2）=1．
所以a=-2，∴f'（x）=

-2

x

+2． 
∴函数g（x）=x³+x²[

m

2

+2-

2

x

]=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2
∵函数g（x）当且仅当在x=1处取得极值，g'（0）=-2＜0
∴只需g  ′（1）=3+m+4-2=0，
∴m=-5．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．