Question

如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．
（Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求证：PM∥平面AFC；
（Ⅲ）求多面体CD-AFEB的体积V．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出CB⊥平面ABEF，CB⊥AF，AF⊥BF，由此能证明平面ADF⊥平面CBF．
（Ⅱ）连结OM延长交BF于H，由已知条件得PH∥CF，从而得到PH∥平面AFC，连结PO，由已知条件推导出PO∥平面AFC，所以平面POO₁∥平面AFC，由此能证明PM∥平面AFC．
（Ⅲ）多面体CD-AFEB的体积可分成三棱锥C-BEF与四棱锥F-ABCD的体积之和，由此能求出结果．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB．
∴CB⊥平面ABEF，
又AF?平面ABEF，所以CB⊥AF，（1分）
又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，
由余弦定理知BF=

3

，
∴AF²+BF²=AB²，得AF⊥BF，（2分）
AF∩CB=B∴AF⊥平面CFB，（3分）
∵AF?平面AFC，∴平面ADF⊥平面CBF．（4分）
（Ⅱ）证明：连结OM延长交BF于H，
则H为BF的中点，又P为CB的中点，
∴PH∥CF，又∵AF?平面AFC，∴PH∥平面AFC，（5分）
连结PO，则PO∥AC，AC?平面AFC，PO∥平面AFC，（6分）
∵PO∩PO₁=P，∴平面POO₁∥平面AFC，（7分）
PM?平面AFC，PM∥平面AFC．（8分）
（Ⅲ）解：多面体CD-AFEB的体积可分成三棱锥C-BEF与
四棱锥F-ABCD的体积之和，（9分）
在等腰梯形ABCF中，计算得EF=1，两底间的距离EE₁=

3

2

∴VC-BEF=

1

3

S△BEF×CB=

1

3

×

1

2

×1×

3

2

×1=

3

12

，（10分）
V_F-ABCD=

1

3

SEFCD×EE1=

1

3

×2×1×

3

2

=

3

3

，（11分）
∴V=VC-BEF+VF-ABCD=

5 3

12

．（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查多面体和体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．