Question

已知函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当a∈[-2，2]时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（ I）先求出f'（x），得出x∈（-∞，0），f'（x）＜0；x∈（0，+∞），f'（x）＞0，从而f（0）=b是唯一极值．
（Ⅱ）由题意得函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者．有

b≤-2-a b≤-2+a

，在a∈[-2，2]上恒成立，从而求出b的范围．

解答： 解：（ I）f'（x）=x（4x²+3ax+4），
显然a∈[-2，2]4x²+3ax+4＞0．
当x∈（-∞，0），f′（x）＜0；
x∈（0，+∞），f′（x）＞0，
所以f（0）=b是唯一极值．
（Ⅱ）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a²-64＜0，从而4x²+3ax+4＞0恒成立．
当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．
因此函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者．
为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
当且仅当

f(1)≤1 f(-1)≤1

，即

b≤-2-a b≤-2+a

，在a∈[-2，2]上恒成立．
所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．