Question

（1）已知椭圆的短轴与焦距相等，求椭圆的离心率；
（2）已知正方形ABCD，求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于椭圆的短轴与焦距相等，即2c=2b，即可求椭圆的离心率；
（2）由“以A、B为焦点”可求得c，再由“过C、D两点”结合椭圆的定义可知|AC|+|BC|=2a，可求a，再由离心率公式求得其离心率．

解答： 解：（1）由于椭圆的短轴与焦距相等，即2c=2b，
∴c=b，∴a=

b2+c2

=

2

c，
∴e=

c

a

=

2

2

；
（2）设正方形边长为1，则AB=2c=1，
∴c=

1

2

．
∵|AC|+|BC|=1+

2

=2a，
∴a=

2 +1

2

．
∴e=

c

a

=

2

-1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，题目灵活新颖，转化巧妙，是一道好题．