Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为

2 5

5

．  
（1）求此双曲线的方程；
（2）设点P为双曲线上一点，A、B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若

AP

=

PB

，求△AOP的面积．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用双曲线渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为

2 5

5

，求出a，b，即可求此双曲线的方程；
（2）由A（m，2m），B（-n，2n），根据

AP

=

PB

，得P点的坐标代入双曲线方程化简整理m，n的关系式；设∠AOB=2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵一条渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为

2 5

5

，
∴

|2a|

5

=

2 5

5

，
∴a=1，
∵

b

a

=2，
∴b=2，
∴双曲线的方程为x2-

y2

4

=1；
（2）由（1）知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x．
设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0，n＞0．
∵

AP

=

PB

，
∴P（

m-n

2

，m+n），
代入x2-

y2

4

=1化简得，mn=1，
设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=

4

5

，
又|OA|=

5

m，|OB|=

5

n，
所以S_△AOB=

1

2

|OA||OB|sin2θ=2mn=2．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力，属于中档题．