Question

已知函数f（x）=x²+b图象上的点P（2，1）关于直线y=-x的对称点Q在函数g（x）=ln（-x）+a上．
（Ⅰ）设h（x）=g（x）-f（x），求h（x）的最大值；
（Ⅱ）对任意x₁∈[-e，-1]，x₂∈[

e

，e²]，不等式2k[g（x₁）+2]+f（x₁）-6＜ln[f（x₂）+3]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：函数思想,转化思想,导数的综合应用

分析：（1）利用对称点的坐标，求出a，b的值，再求导，结合不等式判断单调性，求出极值点，最后确定最值．
（2）构造两个函数，T（x）=ln（f（x）+3）=2lnx，G（x）=2k[g（x）+2]+f（x）-6=2kln（-x）+x²-9解决不等式的恒成立问题，转化为它们的最大值与最小值的比较，G（x）_max＜T（x）_min，进而求出实数k的取值范围．

解答： 解：（1）：点p（2，1）关于直线y=-x对称点Q（-1，-2），∴

1=22+b -2=ln1+a

，解的

b=-3 a=-2

 h（x）=g（x）-f（x）=ln（-x）-x²+1，h′（x）=

1

x

-2x，h′（x）=0，得x=

+

_

2

2

，
∵x∈（-∞，0），∴当x∈（-∞，-

2

2

）时h′（x）＞0；当x∈（-

2

2

，0）时h′（x）＜0
∴h（x）在区间（-∞，-

2

2

）上为增函数，在 区间（-

2

2

，0）上为减函数
所以h（x）的最大值为：h（-

2

2

）=

1

2

（1-ln2）
（2）：设T（x）=ln（f（x）+3）=2lnx
∵T′（x）=

2

x

，当x₂∈[

e

，e²]，T′（x₂）＞0，即单调递增，T（x₂）_min=T（

e

）=1
G（x）=2k[g（x）+2]+f（x）-6=2kln（-x）+x²-9，G′（x）=

2(x2+k)

x

①当k≥0时，在x₁∈[-e，-1]上，有G′（x₁）＜0成立，即G（x₁）是单调递减函数，
∴G（x₁）_max=G（-e）=2k+e²-9，
以题意得2k+e²-9＜1，∴k＜

10-e2

2

，又∵k≥0，∴0≤k＜

10-e2

2

②当k＜0时
∵x₁∈[-e，-1]∴0≤ln（-x₁）≤1，2kln（-x₁）＜0，1≤x

2 1

≤e²＜9，
∴G（x₁）_max=2kln（-x₁）+x

2 1

-9＜0＜1  即，∴G（x₁）_max＜T（x₂）_min成立
即对任意x₁∈[-e，-1]，x₂∈[

e

，e²]，不等式2k[g（x₁）+2]+f（x₁）-6＜ln[f（x₂）+3]恒成立
综上所述实数k的取值范围为（-∞，

10-e2

2

）

点评：本题（1）考察了利用导数解决函数的最值问题，属于基本应用．
（2）典型的复杂问题，当两个自变量，都取任意值时，构造两个函数，转化为它们最大值与最小值的比较，弄清楚不等号的两端，哪边是最大值，哪边是最小值，看准自变量是任意还是存在．