题目内容

已知点A（5，1，3）、B（1，6，2）、C（5，0，4）、D（4，0，6），求过AD且垂直于平面ABC的一个法向量．
考点：平面的法向量
专题：空间向量及应用
分析：设平面ABC的法向量为
n
=（x，y，z），则
n
•
AB
=0
n
•
AC
=0
，可得
n
．设过AD且垂直于平面ABC的一个法向量为
m
=（a，b，c），则
m
•
AD
=0
m
•
n
=0
，即可得出．
解答： 解：
AB
=（-4，5，-1），
AC
=（0，-1，1）．
设平面ABC的法向量为
n
=（x，y，z），
则
n
•
AB
=0
n
•
AC
=0
，
化为
-4x+5y-z=0
-y+z=0
，取y=1，则z=1，x=1，
∴
n
=（1，1，1）．
AD
=（-1，-1，3）．
设过AD且垂直于平面ABC的一个法向量为
m
=（a，b，c），
则
m
•
AD
=0
m
•
n
=0
，化为
-a-b+3c=0
a+b+c=0
，
令a=1，解得b=-1，c=0．
则
m
=（1，-1，0）．
点评：本题考查了平面的法向量、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
练习册系列答案
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已知tanα=-
3
5
．
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（Ⅱ）求
cos(3π+α)cos(
π
2
+α)cos(
11π
2
-α)
cos(π-α)sin(-π-α)sin(
9
2
π+α)
的值．
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2x+3，-5≤x＜-1
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．
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1
2
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π
3
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