Question

已知

A

4 n

=40

C

5 n

，设f（x）=（x-

1

3 x

）ⁿ．
（1）求n的值；
（2）f（x）的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可）；
（3）求f（x）的展开式中系数最大的项和系数最小的项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）直接由已知

A

4 n

=40

C

5 n

，利用排列数公式、组合数公式求得 n的值．
（2）根据f（x）=（x-

1

3 x

）⁷ 的展开式的通项公式，可得r=0，3，6 时为有理项，从而得出结论．
（3）由于f（x）的展开式中第r+1项的系数为

C

r 7

•（-1）^r，可得展开式中系数最大的项和系数最小的项．

解答： 解：（1）由已知

A

4 n

=40

C

5 n

，可得n（n-1）（n-2）（n-3）=40•

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

5×4×3×2×1

，求得 n=7．
（2）f（x）=（x-

1

3 x

）⁷ 的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 7

•（-1）^r•x7-

4r

3

，
令7-

4r

3

为整数，可得r=0，3，6，故第一项、第4项、第7项为有理项．
（3）由于f（x）的展开式中第r+1项的系数为

C

r 7

•（-1）^r，故当r=4时，即第五项的系数最大；故当r=3时，即第4项的系数最小．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．