题目内容
已知函数f（x）=lnx-ax2，
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知存在正数α、β满足α≠β，f（α）=f（β）．
①若α、β都属于区间[1，3]，且β-α=1，求实数a的取值范围．
②求证：α+β＞
．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知存在正数α、β满足α≠β，f（α）=f（β）．
①若α、β都属于区间[1，3]，且β-α=1，求实数a的取值范围．
②求证：α+β＞
|
考点：利用导数研究函数的单调性,不等式的证明
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）先求函数f（x）=lnx-ax2的定义域是（0，+∞），再求导f′（x）=
-2ax=
，讨论导数的正负以确定单调性；
（Ⅱ）①讨论
在[1，3]间的位置，从而转化存在属于区间[1，3]的α、β，且β-α=1，使f（α）=f（β），从而求解．
②结合函数的图象可知，α+β＞2
，从而可得α+β＞
．
| 1 |
| x |
| 1-2ax2 |
| x |
（Ⅱ）①讨论
| ||
| 2a |
②结合函数的图象可知，α+β＞2
| ||
| 2a |
|
解答：
解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx-ax2的定义域是（0，+∞），
f′（x）=
-2ax=
，
①当a≤0时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，由f′（x）＞0解得，x＜
；
故f（x）在（0，
）单调递增，在（
，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）①当1＜
≤2，即
≤a＜
时，
f（2）≥f（1），
即a≤
，
故
≤a≤
；
当2＜
＜3，即
≤a＜
时，
f（2）≥f（3），
即a≥
，
故
≤a＜
；
综上所述，实数a的取值范围是[
，
]．
②证明：∵f′（x）=
-2ax=
，
∴f（x）在（0，
）单调递增，在（
，+∞）上单调递减；
且增长的速度大于减小的速度，
故α+β＞2
，
即α+β＞
．
f′（x）=
| 1 |
| x |
| 1-2ax2 |
| x |
①当a≤0时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，由f′（x）＞0解得，x＜
| ||
| 2a |
故f（x）在（0，
| ||
| 2a |
| ||
| 2a |
（Ⅱ）①当1＜
| ||
| 2a |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
f（2）≥f（1），
即a≤
| ln2 |
| 3 |
故
| 1 |
| 8 |
| ln2 |
| 3 |
当2＜
| ||
| 2a |
| 1 |
| 18 |
| 1 |
| 8 |
f（2）≥f（3），
即a≥
ln
| ||
| 5 |
故
ln
| ||
| 5 |
| 1 |
| 8 |
综上所述，实数a的取值范围是[
ln
| ||
| 5 |
| ln2 |
| 3 |
②证明：∵f′（x）=
| 1 |
| x |
| 1-2ax2 |
| x |
∴f（x）在（0，
| ||
| 2a |
| ||
| 2a |
且增长的速度大于减小的速度，
故α+β＞2
| ||
| 2a |
即α+β＞
|
点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题及函数的图象的应用，属于难题．
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