Question

已知函数f（x）=

1+cos2x

4sin( π 2 -x)

-asin

x

2

cos(π-

x

2

)(a＞0)
（1）若a=1，试求解f（x）的最小正周期与单调减区间；
（2）若（sinx+cosx）•f（x）=

a

2

，求tanx．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,运用诱导公式化简求值,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过三角函数的恒等变换，把函数关系式变形呈正弦型函数，进一步求出最小正周期和单调区间．
（2）利用三角函数的诱导关系变换求出函数的值．

解答： 解：（1）you函数f（x）=

1+cos2x

4sin( π 2 -x)

-asin

x

2

cos(π-

x

2

)(a＞0)
=

1

2

cosx+

a

2

sinx
当a=1时，函数f（x）=

2

2

sin(x+

π

4

)
所以：T=

2π

1

=2π
令：

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：

π

4

+2kπ≤x≤

5π

4

+2kπ
所以单调递减区间为：[

π

4

+2kπ，

5π

4

+2kπ]（k∈Z）
（2）由（1）得：f（x）=

1

2

cosx+

a

2

sinx
所以：（sinx+cosx）（

1

2

sinx+

a

2

cosx)=

a

2

=

a

2

1

2

sin2x+

a

2

sinxcosx+

1

2

sinxcosx+

a

2

cos2x=

a

2

1-cos2x

2

+

asin2x

2

+

sin2x

2

+

a(1+cos2x)

2

=a

1+a

a-1

sin2x+cos2x=1

1+a

a-1

sinx•cosx=sin2x
所以：tanx=

1+a

a-1

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小周期和单调区间，利用诱导公式进行函数的求值，属于基础题型．