Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若m≥1，试讨论关于x的方程f（x）=x²-（m+1）x的解的个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）令F（x）=f（x）-x²+（m+1）x=-$\frac{1}{2}$x²+（m+1）x-mlnx，x＞0，问题等价于求F（x）函数的零点个数，通过讨论m的范围，判断即可．

解答 解：（1）依题意得，f′（x）=x-$\frac{m}{x}$=$\frac{{x}^{2}-m}{x}$，x∈（0，+∞），
当m≤0时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值；
当m＞0时，f′（x）=$\frac{（x-\sqrt{m}）（x+\sqrt{m}）}{x}$，
令f′（x）＞0，得0＜x＜$\sqrt{m}$，函数f（x）单调递减，
令f′（x）＞0，得x＞$\sqrt{m}$，函数f（x）单调递增，
故函数f（x）有极小值f（$\sqrt{m}$）=$\frac{m}{2}$（1-lnm）；
综上所述，当m≤0时，函数f（x）无极值；
当m＞0时，函数f（x）有极小值$\frac{m}{2}$（1-lnm），无极大值．
（2）令F（x）=f（x）-x²+（m+1）x=-$\frac{1}{2}$x²+（m+1）x-mlnx，x＞0，
问题等价于求F（x）函数的零点个数，
易得F′（x）=-x+m+1-$\frac{m}{x}$=-$\frac{（x-1）（x-m）}{x}$，
①若m=1，则F′（x）≤0，函数F（x）为减函数，
注意到F（1）=$\frac{3}{2}$＞0，F（4）=-ln4＜0，所以F（x）有唯一零点；
②若m＞1，则当0＜x＜1或x＞m时，F′（x）＜0，当1＜x＜m时，F′（x）＞0，
所以函数F（x）（0，1）和（m，+∞）上单调递减，在（1，m）上单调递增，
注意到F（1）=m+$\frac{1}{2}$＞0，F（2m+2）=-mln（2m+2）＜0，所以F（x）有唯一零点；
综上，若m≥1，函数F（x）有唯一零点，
即方程f（x）=x²-（m+1）x有唯一解．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．