Question

2．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0．b＞0）有公共焦点F，且在第一象限的交点为P（3，2$\sqrt{6}$）．
（1）求抛物线C₁，双曲线C₂的方程；
（2）过点F且互相垂直的两动直线被抛物线C₁截得的弦分别为AB，CD，弦AB、CD的中点分别为G、H，探究直线GH是否过定点，若GH过定点，求出定点坐标；若直线GH不过定点，说明理由．

Answer 1

分析 （1）P（3，2$\sqrt{6}$）代入抛物线C₁：y²=2px（p＞0），可得p，求出抛物线方程．焦点F（2，0），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{24}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，求出a，b，可得双曲线C₂的方程；
（2）欲证明直线GH过定点，只需求出含参数的直线GH的方程，观察是否过定点即可．设出A，B，G，H的坐标，用A，B坐标表示G，H坐标，求出直线GH方程，化为点斜式，可以发现直线必过点（3，0）．

解答 解：（1）P（3，2$\sqrt{6}$）代入抛物线C₁：y²=2px（p＞0），可得p=4，∴抛物线C₁：y²=8x；
焦点F（2，0），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{24}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，∴a=1，b=$\sqrt{3}$，∴双曲线C₂的方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）
把直线AB：y=k（x-2）代入y²=8x，得：
k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，∴x₃=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，y₃=k（x₃-2）=$\frac{4}{k}$，
同理可得，x₄=2+4k²，y₄=-4k，
∴k_GH=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，
∴直线GH为y-$\frac{4}{k}$=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-2-$\frac{4}{{k}^{2}}$），即y=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-3），过定点P（3，0）．

点评 本题主要考查了抛物线、双曲线的方程，以及直线过定点的判断，考查韦达定理的运用，属于中档题．