Question

20．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知${（{a_7}-1）^3}+2016（{a_7}-1）=-1$，${（{a_{2010}}-1）^3}+2016（{a_{2010}}-1）=1$，则下列结论正确的是（　　）

• A． S₂₀₁₆=2016，a₂₀₁₀＜a₇
• B． S₂₀₁₆=2016，a₂₀₁₀＞a₇
• C． S₂₀₁₆=-2016，a₂₀₁₀＜a₇
• D． S₂₀₁₆=-2016，a₂₀₁₀＞a₇

Answer 1

分析 由题意构造函数f（x）=x³+2013x，求出f′（x），判断出函数f（x）的单调性、奇偶性，由已知的两等式求出f（a₄-1）、f（a₂₀₁₀-1），由奇函数的性质求出f（1-a₂₀₁₀），由函数的单调性得到a₄-1=1-a₂₀₁₀即a₄+a₂₀₁₀=2，根据等差数列的性质、前n项和公式求出S₂₀₁₆，根据单调性判断出a₇与a₂₀₁₀的大小．

解答 解：令f（x）=x³+2016x，则f′（x）=3x²+2016＞0，
所以f（x）在R上单调递增，且f（x）为奇函数．
由条件得，f（a₇-1）=-1，f（a₂₀₁₀-1）=1，
即f（1-a₂₀₁₀）=-1，则a₇-1=1-a₂₀₁₀，从而a₇+a₂₀₁₀=2，
又等差数列{a_n}的前n项和为S_n，
所以${S}_{2016}=\frac{2016（{a}_{1}+{a}_{2016}）}{2}$=$\frac{2016（{a}_{7}+{a}_{2010}）}{2}$=2016，
因为f（a₇-1）=-1，f（a₂₀₁₀-1）=1，f（x）在R上单调递增，
所以a₂₀₁₀-1＞a₇-1，即a₂₀₁₀＞a₇，
故选：B．

点评 本题考查等差数列的性质、前n项和的公式的灵活应用，函数的单调性与导数的关系，考查了构造函数、函数思想解决问题的能力，属于中档题．