Question

17．在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（x∈N^*）台的收入函数为R（x）=3000x+ax²（单位：元），其成本函数为C（x）=kx+4000（单位：元），利润是收入与成本之差．当生产10台时，成本为9000元，利润为19000元．
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；
（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？

Answer 1

分析 （1）k=500，a=-20，利用利润等于收入与成本之差代入可得利润函数P（x）的表达式，进而利用边际函数的定义可得边际利润函数MP（x）的表达式；
（2）通过（1）分别计算出各自的最大值，进而比较即得结论．

解答 解：（1）k=500，a=-20，P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x²）-（500x+4 000）
=-20x²+2 500x-4 000（x∈[1，100]且x∈N）
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）²+2 500（x+1）-4 000-（-20x²+2 500x-4 000）
=2 480-40x （x∈[1，100]且x∈N）．
（2）P（x）=-20（x-$\frac{125}{2}）$²+74 125，当x=62或63时，P（x）_max=74 120（元）．
因为MP（x）=2 480-40x是减函数，所以当x=1时，MP（x）_max=2 440（元）．
因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．