Question

1．使不等式a²+b²+2＞λ（a+b）对任意的正数a，b恒成立的实数λ的取值范围是（-∞，2）．

Answer 1

分析 根据题意，由于a²+b²+2＞λ（a+b）（a，b＞0）⇒λ＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$，则原问题可以转化为λ＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$恒成立，（a，b＞0），令t=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$，利用基本不等式的性质分析可得t有最小值2，进而分析可得λ＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$恒成立，则必有λ＜2，即可得实数λ的取值范围．

解答 解：若a²+b²+2＞λ（a+b），且a，b＞0，则有λ＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$，
则原问题可以转化为λ＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$恒成立，（a，b＞0）
令t=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$，
则t=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$≥$\frac{\frac{（a+b）^{2}}{2}+2}{a+b}$=$\frac{a+b}{2}$+$\frac{2}{a+b}$≥2，
即t=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$有最小值2，
若λ＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a+b}$恒成立，则必有λ＜2，即实数λ的取值范围是（-∞，2）；
故答案为：（-∞，2）．

点评 本题考查了基本不等式的性质，关键是将原问题转化为基本不等式的问题进行分析，属于中档题