Question

4．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅=a₅+a₆=25．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若不等式2S_n+8n+27＞（-1）ⁿk（a_n+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）求出S_n，从而3n²+3n+27＞（-1）ⁿk•3n，由此能求出实数k的取值范围．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅=a₅+a₆=25，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=25}\\{{a}_{1}+4d+{a}_{1}+5d=25}\end{array}\right.$，
解得a₁=-1，d=3，
∴{a_n}的通项公式a_n=-1+（n-1）×3=3n-4．
（2）∵a₁=-1，d=3，
∴${S}_{n}=-n+\frac{n（n-1）}{2}×3$=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{5}{2}n$．
∵不等式2S_n+8n+27＞（-1）ⁿk（a_n+4）对所有的正整数n都成立，
∴3n²+3n+27＞（-1）ⁿk•3n，
∴（-1）ⁿk＜n+$\frac{9}{n}$+1对所有的正整数n都成立，
当n为偶数时，k＜n+$\frac{9}{n}$+1，
设F（n）=n+$\frac{9}{n}$+1，
F（n）_min=F（4）=4+$\frac{9}{4}+1$=$\frac{29}{4}$．
∴k＜$\frac{29}{4}$．
当n为奇数时，-k＜n+$\frac{9}{n}$+1，k＞-（n+$\frac{9}{n}$+1），
-（n+$\frac{9}{n}$+1）≤-2$\sqrt{n•\frac{9}{n}}$-1=-7，
当且仅当n=$\frac{9}{n}$，即n=3时，取等号，
∴实数k的取值范围是（-7，$\frac{29}{4}$）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查实数取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．