Question

3．若数列{a_n}满足：a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=$\frac{{{n^2}+1}}{3}（n∈{N^*}）$，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}，n=1\\ \frac{2n-1}{{3×{2^{n-1}}}}，n≥2\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由数列{a_n}满足：a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=$\frac{{{n^2}+1}}{3}（n∈{N^*}）$，得数列{a_n}满足：a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=$\frac{{（n-1）}^{2}+1}{3}$（n≥2），作差得a_n=$\frac{2n-1}{3×{2}^{n-1}}$，n≥2，当n=1时，${a}_{1}=\frac{2}{3}$．由此能求出结果．

解答 解：∵数列{a_n}满足：a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=$\frac{{{n^2}+1}}{3}（n∈{N^*}）$，①
∴数列{a_n}满足：a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=$\frac{{（n-1）}^{2}+1}{3}$（n≥2），②
①-②，得：2^n-1a_n=$\frac{{n}^{2}+1}{3}-\frac{（n-1）^{2}+1}{3}$=$\frac{2n-1}{3}$，n≥2，
∴a_n=$\frac{2n-1}{3×{2}^{n-1}}$，n≥2，
当n=1时，${a}_{1}=\frac{2}{3}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}，n=1\\ \frac{2n-1}{{3×{2^{n-1}}}}，n≥2\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}，n=1\\ \frac{2n-1}{{3×{2^{n-1}}}}，n≥2\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．