Question

16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}-a，x＞1}\\{{x}^{2}+\frac{1}{2}ax-2，x≤1}\end{array}\right.$是（-$\frac{3}{8}$，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，2）
• B． （1，2]
• C． [$\frac{3}{2}$，2]
• D． （1，2）

Answer 1

分析 根据分段函数在（-$\frac{3}{8}$，+∞）上是增函数，y₁=a^x-a，x＞1必须是增函数，即a＞1，（1，+∞）单调递增，那么y₂=${x}^{2}+\frac{1}{2}ax-2，x≤1$，其对称轴x=$-\frac{a}{4}$，在[$-\frac{a}{4}$，1]必须是单调递增．结合单调递增的性质，y₁≥y₂可得结论．

解答 解：分段函数在（-$\frac{3}{8}$，+∞）上是增函数，y₁=a^x-a，x＞1必须是增函数，即a＞1，（1，+∞）单调递增，
那么y₂=${x}^{2}+\frac{1}{2}ax-2，x≤1$，其对称轴x=$-\frac{a}{4}$，在[$-\frac{a}{4}$，1]必须是单调递增．
∴$-\frac{3}{8}≥-\frac{a}{4}$，解得：$a≥\frac{3}{2}$．
在（-$\frac{3}{8}$，+∞）上是增函数，那么y₁的最小值要大于y₂的最大值，即1$+\frac{1}{2}a-2≤0$，
解得：a≤2
∴a的取值范围是[$\frac{3}{2}$，2]．
故选：C．

点评 本题考查了分段函数单调性的运用，属于中档题．